怎么解Perimeter Institute的Tensor Networks Initiative?

匿名用户 2018-09-13 138 tensor 矩阵
链接:Tensor Networks Initiative
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2016.11.23更新。现在来PI已经两个多月了,又了解了一些知识。
1. 在1d noncritical的系统中基态纠缠为常数,但critical的系统中,纠缠正比于log L,其中L为系统的尺度。MPS的纠缠有上界,因此只能描述noncritical的系统或者critical系统的短程关联。 能更好描述critical系统基态的是MERA。
2. MERA起源于entanglement renormalization,是一种block spin renormalization。但它不是直接block spin(这样会积累短程关联,使得RG flow中产生太多irrelevant terms),而是先通过disentangler去除短程关联。做RG变换会自然诱导出一个树形tensor network(表示从original lattice到coarse grained lattice的变换),这个tensor network就是MERA。可以用MERA提取critical system的conformal data。
3. 现在发现不同的coarse grain方法对应于不同的tensor network。如DMRG对应的是MPS,Tensor RG对应的是tree tensor network,而entanglement renormalization对应的是MERA。它们的纠缠模式的特征不同,适用于不同的系统。
4. MERA和CFT可谓有天然的联系,二者都是在conformal transformation下不变的系统。现在已经可以实现对MERA的local conformal transformation,从而使得从MREA可以构造整个CFT。

作为即将去PI师从Guifre Vidal的小小本科生,读过几篇文献,个人理解如下:
1. Tensor network用图形表示系统的纠缠,由于实际系统的基态和低激发态的纠缠熵符合面积定律,与Tensor network态一致,故Tensor network态能简洁地表征凝聚态系统的状态,同时方便对态作各种运算,如求密度矩阵,局域力学量平均值和约化密度矩阵。因此Tensor network是凝聚态系统模拟的有效方法。(如密度矩阵重整化群方法,DMRG)
2. 不同图形代表不同的纠缠模式,使得它们可以各自适用于具体的物理问题。例如矩阵乘积态(MPS)能表示many body localized系统的本征态。
3. 与场论和重整化群有天然的联系。Continuous MPS和MERA(Multiscale entanglement renormalization ansatz)对应的网络图本身就有标度变换不变性。
4. 与其他学科的关系:如MERA可以作为AdS/CFT对偶的一个具体的实现方式,用于量子引力的研究。Tensor network与神经网络有类似处,可用于机器学习的研究。
邹益健 2018-09-13 10:00:41 0条评论
恭喜邹益健去Guifre Vidal那里。
我之前的回答对于物理学家来说一个数值解有多大意义? - 百晓知道用户的回答,介绍过Tensor Network States的一些背景。
当考虑一个多粒子系统时,系统的希尔伯特空间的维度会随着粒子数的增长而指数增长。但我们所要研究的物理系统的physical state 只会占据其中很小的一部分。所以我们需要找到一种方法来找出那个有效的较小的空间。这种方法就是DMRG, 它在一维系统是非常成功的。这种方法极大地推动了强关联领域的研究。

人们发现DMRG之所以取得成功,背后的物理原因在于,很多物理体系,其子系统与剩余部分之间的纠缠熵满足面积定律。而DMRG就是根据纠缠来找到那个较小的空间的。

后来,人们又发现由DMRG得到的系统基态波函数,它的形式是矩阵乘积态 MPS (matrix product state)。就是说,基态波函数的在基矢{|S>}上的投影,也就是很多系数,总是可以表示为一些特定的矩阵的乘积 再求迹。 矩阵的维度反映了系统内部之间的纠缠。矩阵维度最小为1,表示的态为直积态,它表示系统内部没有纠缠。矩阵维度越大,它所能表示的希尔伯特空间就越大。

有了这样的认识后,人们可以直接将一维体系的基态波函数写成MPS,其中矩阵的元素都是待定的。有了这样的变分波函数和哈密顿量,可以求出矩阵的元素,从而得到基态波函数。

根据MPS满足面积定律,人们把一维系统的MPS形式推过到二维,构造了二维情况下满足面积定律的波函数,相应地,矩阵变成了张量(这里的张量不是物理量),PEPS 就是一种。 一维情况下,在相变点附近,物理系统的纠缠熵满足其他形式,而不是面积定律,由此构造的波函数形式 就是 MERA。一维和二维的波函数形式,统称为 Tensor Network States.

Tensor Netwrok 有什么用呢?

1. 统计物理中,格点系统的配分函数,总是可以写成 Tensor Network , 能够可以很好地进行数值求解。换句话说,统计物理的中大多数问题,都可以用Tensor Network 来解决。

2. 强关联系统的研究。强关联系统的重要性可以参考之前的回答。目前凝聚态物理最前沿的物理,绝大部分都是强关联系统呈现的性质。利用Tensor Network 构造出强关联系统的基态,为求解强关联系统开辟了新的途径。并且由Tensor Network 还可以刻画很多有趣的物理,如Many-body Localizaiton,Topological phase等....

3. Ads/CFT(共形场论), Lattice gauge theory 。。。

Tensor Network 是最近十三年才发展出来的,是一个非常年轻也极有潜力的领域,还在处于迅速扩张期,有很多工作可以做。Tensor Network State 已经在强关联领域取得了很多重要的成果,目前也正在和共形场论,格点规范理论等结合。很有可能形成一个大的框架,将其他理论容纳进去。

国内主要做tensor network的研究组(排名不分先后):
1. 向涛老师组(中科院物理所),他的学生谢志远(中国人民大学)
2. 苏刚老师组(中科院大学),他的学生李伟(北航)及冉仕举等
3. 王孝群老师组(上海交大)
4. 周焕强老师组(重庆大学)
5. 高英哲老师组 (国立台湾大学
6. 汪玲老师组(北京计算科学研究中心)
7. 韩永建老师组(中国科大)
8. ....

国际做这方面最好的几个组(排名不分先后):
1. Steven White (DMRG提出者)
2. J. I. Cirac 德国马普所
3. Frank. Verstraete, 维也纳大学
4. Guifre Vidal , PI
5. Frank Pollman
6. Dong-Ning Sheng
7.......

这是一个新的领域,也是一个很有前途的领域!
热心网民 2018-09-13 10:00:41 0条评论
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