一元函数问题,比方函数单调增加,她的导数可能也 0 吗?

马同学 2018-06-08 141 导数
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先说结论,能等于0

这个问题问的人很多,源自教科书上是这样描述的:

在某区间(a,b)内,如果 f'(x)>0 ,那么函数 y=f(x) 在这个区间内单调递增

----摘自高中数材人教版选修2-2

但是在实际的做题过程中,我们经常会遇到例外,最简单的如递增函数 f(x)=x^3 ,其f'(x)\geqslant 0 :


那么是教科书上错了吗?

没错,但 f'(x)>0 只是递增的充分条件,即 f'(x)>0\implies 递增,递增不能\implies f'(x)>0

下面是函数的递增的充要条件:

可导的初等函数f(x),若在某区间(a,b)内, f'(x)\geqslant 0 ,且 f'(x)=0 不能形成区间\iff f(x) 在此区间内单调递增。

----函数递增的充要条件

什么叫 f'(x)=0 不能形成区间,这里我给出一个直观的解释,请观察下面分段函数的图像:


对于递增的充要条件,有一个常见错误,认为 f'(x)\geqslant 0 ,并且 f'(x)=0 的点个数有限\iff f(x) 在此区间内单调递增。

很容易给出一个反例,请观察 f(x)=x+sin(x) 的图像:

可以看出, x+sin(x) 在实数范围内有无限个 f'(x)=0 的点。

那么解题的时候怎么使用呢?

高中范围内,可以直接使用 f'(x)\geqslant 0 ,只有遇到分段函数才需要分段考察。

说到这里可能还是觉得有点不放心,对于很多我们难以作图的函数(比如2015年北京理科18题, f(x)=ln\frac{1+x}{1-x}-2(x+\frac{x^3}{3}) )而言:

这里我做一个简单的说明, f'(x)=0 形成区间,其代数意义是, f'(x)=0 这个方程有根并且根是连续的,对于形如 f'(x)=a_1 x^ n + a_2 x^{n-1} + ... 这样的多项式而言,根的个数最多为 n 个,不可能连续,而对于 f'(x)=1+cos(x) 这样周期函数而言,根的一般形式是\pi + 2k\pi ,也是离散的点,不会形成区间。

所以,重要的问题说三遍,考试的时候要使用 f'(x)\geqslant 0 (分段函数除外)!考试的时候要使用 f'(x)\geqslant 0 (分段函数除外)!考试的时候要使用 f'(x)\geqslant 0 (分段函数除外)!

来看一道习题,就知道使用 f'(x)\geqslant 0 的重要性了。

已知 y=\frac{1}{3}x^3+bx^2+(b+2)x+3 在R上不是单调增函数,则b的范围为?

----导数与函数的单调性练习题

使用 f'(x)>0\implies b\leqslant {-1}, b\geqslant {2}

使用 f'(x)\geqslant 0\implies b<-1, b>2 ,而这个才是正确答案

所以,重要的问题说三遍,考试的时候要使用 f'(x)\geqslant 0 (分段函数除外)!考试的时候要使用 f'(x)\geqslant 0 (分段函数除外)!考试的时候要使用 f'(x)\geqslant 0 (分段函数除外)!

马同学 2018-06-08 16:54:15 0条评论
x^3就满足单调增加,导数在0点为0
热心网民 2018-06-08 16:54:15 0条评论
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